2015年江蘇公考邏輯判斷中的容斥、抽屜原理【內(nèi)部資料】
在計(jì)數(shù)時(shí),先不考慮重疊的情況,把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來,然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去,使得計(jì)算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù),這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。求解“至多”“至少”的問題時(shí),思考的出發(fā)點(diǎn)是最不利的情況,其基本原理是抽屜原理。比如,9個(gè)條件論及了8個(gè)人,那么肯定有一個(gè)人被論及了兩次。考查容斥原理和抽屜原理的題目,多出現(xiàn)在數(shù)學(xué)運(yùn)算中。但邏輯判斷中也會(huì)有所涉及,與數(shù)量運(yùn)算中的這種題型相比,更側(cè)重分析過程,而對(duì)計(jì)算的要求特別低。而且數(shù)學(xué)運(yùn)算中題目的容斥原理題目,往往涉及到的是一個(gè)維度,并且有明確的交叉關(guān)系,但交叉關(guān)系復(fù)雜,而判斷推理中考查的容斥原理往往有多個(gè)維度,而且沒有明確的交叉關(guān)系,但交叉關(guān)系非常顯而易見,其難點(diǎn)在于對(duì)抽屜原理最不利原則的考查,與數(shù)學(xué)運(yùn)算中抽屜原題的題目重分析類似,這也是二者的共通之處。
這類題目的求解方法并不難,只須利用以下四條原則,即可求解。
(1)已知交叉的一定交叉。如:題目中說有六個(gè)南方人,有兩個(gè)福建人,那么這兩個(gè)福建人一定是六個(gè)南方人中的兩個(gè)。
。2)已知不交叉的一定不交叉。如:題目中說有四個(gè)人拿到了駕照,有三個(gè)人沒有拿到駕照,這樣拿到駕照的四個(gè)人與沒拿到駕照的三個(gè)人一定不會(huì)有交叉的。
。3)“最少”的情況下能交叉的盡量交叉。這是相對(duì)不同的維度而言的,如:題目中說有五個(gè)人拿到了碩士學(xué)位,有三個(gè)人會(huì)說法語,那么題目讓求“最少”有幾個(gè)人的情況的時(shí)候,就可以把三個(gè)會(huì)說法語的人包含到五個(gè)拿到碩士學(xué)位的人當(dāng)中去。
。4)“最多”的情況下能不交叉的就盡量不交叉。這也是相對(duì)不同的維度而言的,如:題目中說有五個(gè)人拿到了碩士學(xué)位,有三個(gè)人會(huì)說法語,那么題目讓求“最多”有幾個(gè)人的情況的時(shí)候,就假定沒有既拿到碩士學(xué)位又會(huì)說法語的人。
對(duì)于以上4條基本原則,前兩條是必須遵守的。后兩條是在考查“最少”“最多”有多少人的題目中才使用,并且使用第(3)條原則是先遵循(2)的情況下考慮,使用第(4)條原則是先遵循(1)的情況下考慮。
下面結(jié)合題目來進(jìn)行分析:
【例1】某個(gè)會(huì)議的與會(huì)人員的情況如下:
(1)3人是由基層提升上來的
(2)4人是北方人
(3)2人是黑龍江人
(4)5人具有博士學(xué)位
(5)黑龍江人沒有博士學(xué)位
(6)上述情況包含了與會(huì)的所有人員。
那么,與會(huì)人員的人數(shù)是( 。。
A. 最少5人,最多12人B. 最少7人,最多12人
C. 最少5人,最多14人D. 最少7人,最多14人
【解析】先根據(jù)前兩條原則來看,(3)包含在(2)當(dāng)中了,(3)和(4)一定沒有交叉。
根據(jù)第三條原則來求解最少有幾人:先利用第二條規(guī)則,確定了(3)和(4)沒有交叉,至少有5+2=7人了,(1)和(2)中的兩個(gè)非黑龍江人都可以包含(4)當(dāng)中,這樣最少有7人。
根據(jù)第四條原則來求解最多有幾人:先利用第一條規(guī)則,確定了(2)和(3)中最多有4人,再加上(1)和(4),總計(jì)有4+3+5=12人。故選B。
【例2】在某次交通整治民意代表座談會(huì)的代表中,一個(gè)是黑龍江人,兩個(gè)是北方人,一個(gè)是廣東人,有兩個(gè)人只負(fù)責(zé)客運(yùn)業(yè)務(wù),三個(gè)人只從事貨物運(yùn)輸。
如果以上的介紹涉及了該次座談會(huì)的所有代表,則參加這次座談會(huì)的代表( )。
A. 最少可能是3人,最多可能是8人
B. 最少可能是5人,最多可能是8人
C. 最少可能是5人,最多可能是9人
D. 最少可能是3人,最多可能是9人
【解析】本題的解題思路,與例1完全相同。利用前兩條原則即能判斷出黑龍江屬于北方人,廣東人與北方人一定沒有交叉,負(fù)責(zé)客運(yùn)業(yè)務(wù)的與從事貨物運(yùn)輸?shù)囊矝]有交叉。
這樣按籍貫有3人,按工作內(nèi)容有5人。“最少”的情況是前3個(gè)人包含在后5個(gè)人中,“最多”的情況是,二者沒有交叉,共計(jì)有5+3=8人,故選B。
【例3】某大學(xué)寢室有8個(gè)人,三個(gè)是廣東人,一個(gè)是北京人,有兩個(gè)是北方人,一個(gè)保送生,三個(gè)是貧困生。假設(shè)上述介紹涉及該寢室的所有同學(xué),則下列關(guān)于該寢室同學(xué)的判斷與題干有矛盾的是:
A.保送的學(xué)生來自北方 B.北京人既不是保送生也不是貧困生
C.有兩個(gè)貧困生是廣東人 D.沒有一個(gè)來自黑龍江的學(xué)生
【解析】根據(jù)第一條原則,一個(gè)北京人包含在了北方人當(dāng)中,那么前三個(gè)條件其實(shí)只涉及了3+2=5個(gè)人,還有一個(gè)保送生和三個(gè)貧困生,這樣實(shí)際上只談了9個(gè)條件涉及到了8個(gè)人,因此有且只有一個(gè)人同時(shí)具備兩個(gè)條件。
對(duì)比選項(xiàng)一眼就能看出,C項(xiàng)有兩個(gè)人具備了兩個(gè)條件,一定與題干矛盾。因此選C。
【例4】張老師的班里有60個(gè)學(xué)生,男女生各一半。有40個(gè)學(xué)生喜歡數(shù)學(xué);有50個(gè)學(xué)生喜歡語文。
這表明可能會(huì)有( )。
A. 20個(gè)男生喜歡數(shù)學(xué)而不喜歡語文B. 20個(gè)喜歡語文的男生不喜歡數(shù)學(xué)
C. 30個(gè)喜歡語文的女生不喜歡數(shù)學(xué)D. 30個(gè)喜歡數(shù)學(xué)的男生只有10個(gè)喜歡語文
【解析】本題遵循的原則:不喜歡數(shù)學(xué)的人數(shù)不超過20人(1),不喜歡語文的人數(shù)不超過10人(2)。對(duì)比選項(xiàng),A和D項(xiàng)違反了(2),C項(xiàng)違反了(1)。故選B項(xiàng)。
總結(jié)以上幾道例題,實(shí)際上這種容斥抽屜型的邏輯判斷題目,已知條件在一個(gè)維度上,我們能夠判斷二者有沒有交叉,而在不同維度上,如果題干不明確說明,那么就不知道二者是否交叉,這時(shí)候就用到抽屜原理的最不利原則,“最少”的情況盡量交叉,“最多”的情況盡量不交叉。但交叉得滿足一個(gè)前提,即交叉的部分不能大于兩個(gè)條件中的最大值,其實(shí)例4就是給我們指明了這一原則。
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(1)已知交叉的一定交叉。如:題目中說有六個(gè)南方人,有兩個(gè)福建人,那么這兩個(gè)福建人一定是六個(gè)南方人中的兩個(gè)。
。2)已知不交叉的一定不交叉。如:題目中說有四個(gè)人拿到了駕照,有三個(gè)人沒有拿到駕照,這樣拿到駕照的四個(gè)人與沒拿到駕照的三個(gè)人一定不會(huì)有交叉的。
。3)“最少”的情況下能交叉的盡量交叉。這是相對(duì)不同的維度而言的,如:題目中說有五個(gè)人拿到了碩士學(xué)位,有三個(gè)人會(huì)說法語,那么題目讓求“最少”有幾個(gè)人的情況的時(shí)候,就可以把三個(gè)會(huì)說法語的人包含到五個(gè)拿到碩士學(xué)位的人當(dāng)中去。
。4)“最多”的情況下能不交叉的就盡量不交叉。這也是相對(duì)不同的維度而言的,如:題目中說有五個(gè)人拿到了碩士學(xué)位,有三個(gè)人會(huì)說法語,那么題目讓求“最多”有幾個(gè)人的情況的時(shí)候,就假定沒有既拿到碩士學(xué)位又會(huì)說法語的人。
對(duì)于以上4條基本原則,前兩條是必須遵守的。后兩條是在考查“最少”“最多”有多少人的題目中才使用,并且使用第(3)條原則是先遵循(2)的情況下考慮,使用第(4)條原則是先遵循(1)的情況下考慮。
下面結(jié)合題目來進(jìn)行分析:
【例1】某個(gè)會(huì)議的與會(huì)人員的情況如下:
(1)3人是由基層提升上來的
(2)4人是北方人
(3)2人是黑龍江人
(4)5人具有博士學(xué)位
(5)黑龍江人沒有博士學(xué)位
(6)上述情況包含了與會(huì)的所有人員。
那么,與會(huì)人員的人數(shù)是( 。。
A. 最少5人,最多12人B. 最少7人,最多12人
C. 最少5人,最多14人D. 最少7人,最多14人
【解析】先根據(jù)前兩條原則來看,(3)包含在(2)當(dāng)中了,(3)和(4)一定沒有交叉。
根據(jù)第三條原則來求解最少有幾人:先利用第二條規(guī)則,確定了(3)和(4)沒有交叉,至少有5+2=7人了,(1)和(2)中的兩個(gè)非黑龍江人都可以包含(4)當(dāng)中,這樣最少有7人。
根據(jù)第四條原則來求解最多有幾人:先利用第一條規(guī)則,確定了(2)和(3)中最多有4人,再加上(1)和(4),總計(jì)有4+3+5=12人。故選B。
【例2】在某次交通整治民意代表座談會(huì)的代表中,一個(gè)是黑龍江人,兩個(gè)是北方人,一個(gè)是廣東人,有兩個(gè)人只負(fù)責(zé)客運(yùn)業(yè)務(wù),三個(gè)人只從事貨物運(yùn)輸。
如果以上的介紹涉及了該次座談會(huì)的所有代表,則參加這次座談會(huì)的代表( )。
A. 最少可能是3人,最多可能是8人
B. 最少可能是5人,最多可能是8人
C. 最少可能是5人,最多可能是9人
D. 最少可能是3人,最多可能是9人
【解析】本題的解題思路,與例1完全相同。利用前兩條原則即能判斷出黑龍江屬于北方人,廣東人與北方人一定沒有交叉,負(fù)責(zé)客運(yùn)業(yè)務(wù)的與從事貨物運(yùn)輸?shù)囊矝]有交叉。
這樣按籍貫有3人,按工作內(nèi)容有5人。“最少”的情況是前3個(gè)人包含在后5個(gè)人中,“最多”的情況是,二者沒有交叉,共計(jì)有5+3=8人,故選B。
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A.保送的學(xué)生來自北方 B.北京人既不是保送生也不是貧困生
C.有兩個(gè)貧困生是廣東人 D.沒有一個(gè)來自黑龍江的學(xué)生
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對(duì)比選項(xiàng)一眼就能看出,C項(xiàng)有兩個(gè)人具備了兩個(gè)條件,一定與題干矛盾。因此選C。
【例4】張老師的班里有60個(gè)學(xué)生,男女生各一半。有40個(gè)學(xué)生喜歡數(shù)學(xué);有50個(gè)學(xué)生喜歡語文。
這表明可能會(huì)有( )。
A. 20個(gè)男生喜歡數(shù)學(xué)而不喜歡語文B. 20個(gè)喜歡語文的男生不喜歡數(shù)學(xué)
C. 30個(gè)喜歡語文的女生不喜歡數(shù)學(xué)D. 30個(gè)喜歡數(shù)學(xué)的男生只有10個(gè)喜歡語文
【解析】本題遵循的原則:不喜歡數(shù)學(xué)的人數(shù)不超過20人(1),不喜歡語文的人數(shù)不超過10人(2)。對(duì)比選項(xiàng),A和D項(xiàng)違反了(2),C項(xiàng)違反了(1)。故選B項(xiàng)。
總結(jié)以上幾道例題,實(shí)際上這種容斥抽屜型的邏輯判斷題目,已知條件在一個(gè)維度上,我們能夠判斷二者有沒有交叉,而在不同維度上,如果題干不明確說明,那么就不知道二者是否交叉,這時(shí)候就用到抽屜原理的最不利原則,“最少”的情況盡量交叉,“最多”的情況盡量不交叉。但交叉得滿足一個(gè)前提,即交叉的部分不能大于兩個(gè)條件中的最大值,其實(shí)例4就是給我們指明了這一原則。
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