數(shù)量關(guān)系好辦法之一元二次函數(shù)求極值
從最近幾年行測(cè)考情來(lái)看，極值問(wèn)題是數(shù)量關(guān)系中的�？碱}型，特別是一元二次函數(shù)求極值的問(wèn)題考查頻次較高。今天江蘇公務(wù)員考試網(wǎng)小編帶大家來(lái)了解一下一元二次函數(shù)求極值問(wèn)題。
相關(guān)文章
題型介紹
一元二次函數(shù)求極值問(wèn)題，實(shí)際上就是根據(jù)題干所給的信息條件，可以將所求問(wèn)題表示成關(guān)于某個(gè)未知量的一元二次函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)確定在何時(shí)取極值的過(guò)程。
解題方法
1.利用圖像特點(diǎn)：
一元二次函數(shù)的一般式為
由圖像可知a>0時(shí)，開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸處y取最小值;a<0時(shí)，開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸處y取最大值。如下圖：
由圖像可知a>0時(shí)，開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸處y取最小值;a<0時(shí)，開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸處y取最大值。如下圖： 此外，若函數(shù)是y=(ax+m)(bx+n)，
的形式，這可以令y=0，求此時(shí)得x的兩個(gè)取值x1和x2，則函數(shù)y的對(duì)稱軸為
在對(duì)稱軸處，函數(shù)y取最大值或最小值。
的形式，這可以令y=0，求此時(shí)得x的兩個(gè)取值x1和x2，則函數(shù)y的對(duì)稱軸為在對(duì)稱軸處，函數(shù)y取最大值或最小值。 2.若函數(shù)可以寫(xiě)成y=k(x-p)(q-x)，
的形式，也可以考慮利用均值不等式相關(guān)結(jié)論來(lái)求最值。因?yàn)?x-p)與(q-x)的和為定值，根據(jù)和一定，乘積有最大值的結(jié)論，當(dāng)且僅當(dāng)(x-p)=(q-x)時(shí)，(x-p)×(q-x)有最大值，再結(jié)合k的符號(hào)，即可確定此時(shí)y的最值。
的形式，也可以考慮利用均值不等式相關(guān)結(jié)論來(lái)求最值。因?yàn)?x-p)與(q-x)的和為定值，根據(jù)和一定，乘積有最大值的結(jié)論，當(dāng)且僅當(dāng)(x-p)=(q-x)時(shí)，(x-p)×(q-x)有最大值，再結(jié)合k的符號(hào)，即可確定此時(shí)y的最值。 例題應(yīng)用
例1、某商品的進(jìn)貨單價(jià)為80元，銷(xiāo)售單價(jià)為100元，每天可售出120件。已知銷(xiāo)售單價(jià)每降低1元，每天可多售出20件。若要實(shí)現(xiàn)該商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大化，則銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)降低的金額是：
A.5元 B.6元 C.7元 D.8元
【答案】C。解析：由利潤(rùn)公式可知，總利潤(rùn)=(銷(xiāo)售單價(jià)-進(jìn)貨單價(jià))×銷(xiāo)售量，但銷(xiāo)售單價(jià)和銷(xiāo)售量均和降價(jià)的多少有關(guān)，不妨設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)降低x元，則每天可多售出20x件，銷(xiāo)售的總利潤(rùn)為y，此時(shí)y=(100-x-80)×(120+20x)。由此發(fā)現(xiàn)，此題為一元二次函數(shù)求極值問(wèn)題。
方法一：由上式，括號(hào)打開(kāi)化簡(jiǎn)后可得：總利潤(rùn)y=-20x2+280x+2400。此時(shí)，a=-20<0，故y的圖像為開(kāi)口向下，且在對(duì)稱軸處有最大值，
y最大，即銷(xiāo)售單價(jià)降低7元時(shí)，總利潤(rùn)最大。
y最大，即銷(xiāo)售單價(jià)降低7元時(shí)，總利潤(rùn)最大。 方法二：由上式，化簡(jiǎn)后可得：由上總利潤(rùn)y=(20-x)×(120+20x)，令y=0，可得x=20或者x=-6，則函數(shù)y的對(duì)稱軸為
結(jié)合開(kāi)口方向，此時(shí)y取最大值，即銷(xiāo)售單價(jià)降低7元時(shí)，總利潤(rùn)最大。
結(jié)合開(kāi)口方向，此時(shí)y取最大值，即銷(xiāo)售單價(jià)降低7元時(shí)，總利潤(rùn)最大。 方法三：由上式，化簡(jiǎn)后可得：由上總利潤(rùn)y=20(20-x)×(6+x)，此時(shí)(20-x)+(x+6)=14，二者和為定值，由均值不等式結(jié)論，故當(dāng)且僅當(dāng)(20-x)=(x+6)時(shí)，(20-x)×(x+6)有最大值，即y有最大值，此時(shí)x=7，即銷(xiāo)售單價(jià)降低7元時(shí)，總利潤(rùn)最大。
綜上，答案選擇C項(xiàng)。
例2、北京冬奧會(huì)期間，冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”紀(jì)念品十分暢銷(xiāo)。銷(xiāo)售期間某商家發(fā)現(xiàn)，進(jìn)價(jià)為每個(gè)40元的“冰墩墩”，當(dāng)售價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300個(gè)，售價(jià)每上漲1元，每天銷(xiāo)量減少10個(gè)。現(xiàn)商家決定提價(jià)銷(xiāo)售，若要使銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到最大，則售價(jià)應(yīng)為：
A.51元 B.52元 C.54元 D.57元
【答案】D。解析：由利潤(rùn)公式可知，銷(xiāo)售利潤(rùn)=(售價(jià)-進(jìn)價(jià))×銷(xiāo)量，而售價(jià)和銷(xiāo)量均和漲價(jià)多少有關(guān)，故可設(shè)漲價(jià)x元，銷(xiāo)量則會(huì)減少10x個(gè)，設(shè)銷(xiāo)售利潤(rùn)為y，則y=(44+x-40)×(300-10x)。由此發(fā)現(xiàn)，此題為一元二次函數(shù)求極值問(wèn)題。
方法一：由上式，括號(hào)打開(kāi)化簡(jiǎn)后可得：銷(xiāo)售利潤(rùn)y=-10x2+260x+1200。此時(shí)，a=-10<0，故y的圖像為開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸處有最大值，
y最大，即售價(jià)上漲13元至57元時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)最大。
y最大，即售價(jià)上漲13元至57元時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)最大。 方法二：由上式，化簡(jiǎn)后可得：y=(4+x)×(300-10x)。令y=0，可得x=-4或者x=30，則函數(shù)y的對(duì)稱軸為
結(jié)合開(kāi)口方向，此時(shí)y取最大值，即售價(jià)上漲13元至57元時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)最大。
結(jié)合開(kāi)口方向，此時(shí)y取最大值，即售價(jià)上漲13元至57元時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)最大。 方法三：由上式，化簡(jiǎn)后可得：由上y=10(x+4)×(30-x)。此時(shí)(x+4)+(30-x)=34，二者和為定值，由均值不等式結(jié)論，故當(dāng)且僅當(dāng)(x+4)=(30-x)時(shí)，(x+4)×(30-x)有最大值，即y有最大值，此時(shí)x=13，即售價(jià)上漲13元至57元時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)最大。
綜上，答案選擇D項(xiàng)。
通過(guò)以上兩道例題我們可以看出，一元二次函數(shù)求極值的關(guān)鍵在于：1.快速得到所求與未知量之間的函數(shù)解析式;2.根據(jù)函數(shù)解析式的形式或者思維習(xí)慣選擇適當(dāng)?shù)姆椒ù_定函數(shù)在何處取極值。希望大家通過(guò)學(xué)習(xí)該方法，能夠在平時(shí)練習(xí)時(shí)，有效解決此類(lèi)問(wèn)題。
« 上一篇
|
沒(méi)有了
相關(guān)文章
