不定方程中的那些事
在近年的公務(wù)員考試中，關(guān)于計(jì)算問題的考查非常常見，而在計(jì)算問題中經(jīng)常會(huì)涉及到關(guān)于不定方程的考查，但是許多同學(xué)仍然對不定方程不太熟悉，有時(shí)候甚至意識(shí)不到題目其實(shí)是對不定方程的考查，從而導(dǎo)致做題速度較慢。接下來江蘇公務(wù)員考試網(wǎng)給大家講解不定方程里面常見的解題方法與技巧，加深大家對不定方程的理解。
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一、不定方程的定義
不定方程是指未知數(shù)個(gè)數(shù)多于獨(dú)立方程個(gè)數(shù)的一類方程。例如：2x+3y=24。在這個(gè)方程中有x和y兩個(gè)未知數(shù)，所以對于這個(gè)方程而言它的解是不固定的，是一個(gè)不定方程。
二、不定方程的求解
在上面的定義中提到不定方程的解是不固定的，那怎么求解呢?其實(shí)在實(shí)際的考試中，求解不定方程的時(shí)候，往往會(huì)結(jié)合現(xiàn)實(shí)背景來進(jìn)行考查，也就是說會(huì)對這些未知數(shù)進(jìn)行一個(gè)限定，比如說文件袋的數(shù)量，人數(shù)等等只能為正整數(shù)，所以在加上這些限定條件后不定方程的解也就確定下來，接下來我們就一起來看看正整數(shù)范圍內(nèi)不定方程到底該如何求解吧。
例.小明去超市買文具，一個(gè)文具盒3元，一只鋼筆7元，最終小明一共花了24元，則小明買了幾只鋼筆?
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C。解析：題中描述了小明買若干個(gè)文具盒和鋼筆共花了24元這樣一件事情，且已知文具盒和鋼筆的單價(jià)，那么總共花的錢就由文具盒的數(shù)量和鋼筆的數(shù)量決定，而題目中未告知他們的數(shù)量分別是多少，所以就可以假設(shè)鋼筆數(shù)量為x，文具盒數(shù)量為y，則有7x+3y=24求解的是鋼筆的數(shù)量即x的值，結(jié)合選項(xiàng)給的也是鋼筆的數(shù)量，因?yàn)槭菃芜x題，所以勢必只有一個(gè)答案，就可以依次帶入選項(xiàng)看看哪個(gè)符合題意，帶入A則為7*1+3y=24，易知y是一個(gè)分?jǐn)?shù)，結(jié)合實(shí)際文具盒數(shù)量y應(yīng)為正整數(shù)排除，同理可排除B，帶入C可解出y=1，符合題意，選C，這種解決題目的方法其實(shí)就是不定方程中最基礎(chǔ)的方法，代入排除法。
以后遇到類似的方程，其實(shí)都可以用代入排除的方法解決，那么在帶入選項(xiàng)的時(shí)候是不是有一些更快的方法，接下來我們就直接結(jié)合不定方程來將這些方法介紹給大家。
1、整除法
例2. 3x+7y=49，已知x，y為正整數(shù)，則x=()
A.4 B.7 C.9 D.11
【答案】B。解析：對于這道題完全可以把選項(xiàng)一一帶入選項(xiàng)，是可以得到答案的。但是對于這道題7y能被7整除，49也能被7整除，所以3x也應(yīng)該能被7整除，也就是x能被7整除，結(jié)合選項(xiàng)答案只有C，所以當(dāng)某一未知數(shù)前的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)有非1公約數(shù)時(shí)，就可以考慮整除法。
2、奇偶性
例3. x+2y=24，已知x，y為正整數(shù)且x為質(zhì)數(shù)，則x=()
A.2 B.3 C.6 D.7
【答案】A。解析：對于這個(gè)方程首先還是分析x，y為正整數(shù)，并且兩個(gè)未知數(shù)一個(gè)方程可以知道這道題其實(shí)還是屬于正整數(shù)范圍內(nèi)求解不定方程，并且2y是個(gè)偶數(shù)，24也是偶數(shù)，那么x也為偶數(shù)，并且題目中還說x為質(zhì)數(shù)，那么x為一個(gè)質(zhì)偶數(shù)，在正整數(shù)范圍內(nèi)只有2是唯一的質(zhì)偶數(shù)，所以x=2，所以結(jié)合這道題未知數(shù)前系數(shù)為一奇一偶時(shí)，就可以考慮利用奇偶性來解決這類不定方程。
3尾數(shù)法
例4. 2x+10y=36，已知x，y為正整數(shù)，則x=()
A.2 B.3 C.5 D.7
【答案】B。解析：這道題10y的尾數(shù)確定為0，36的尾數(shù)確定為6，所以2x的尾數(shù)只能為6，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)只有當(dāng)x=3時(shí)，2x尾數(shù)才能為6，結(jié)合這道題當(dāng)未知數(shù)前的系數(shù)為5的倍數(shù)時(shí)就可以考慮用尾數(shù)法來解決不定方程。
通過上面的例題，我們可以看到在正整數(shù)范圍內(nèi)求解掌握了相應(yīng)的方法解起來還是簡單的。望大家能熟練掌握，有所收獲。
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