2015江蘇公務員數學運算備考：容斥問題
對于容斥問題，在公務員考試行測當中是經常見到的，所以考生一定要給予重視。通常情況下容斥問題的解題思路都是比較清晰且簡單的，考生只要經過一段時間的復習，解容斥問題的正確率一定會有所提高。江蘇公務員考試（www.5yxx.com）專家在此就把容斥問題進行詳解。
對于容斥問題，解題的關鍵是首先找到題目中存在的各個集合，然后理清各集合之間的關系，再通過兩大核心方法解決，兩大核心方法為：
1、將所有區(qū)域都變?yōu)橐粚?br /> 2、結合文氏圖解題
容斥問題考察的題型包括求定值、求極值，求定值通常考察兩種題型——兩者容斥、三者容斥，接下來專家進行一一講解。
一、容斥極值問題
二、三者容斥問題
三者容斥問題所給的已知條件不同，導致其公式不同，首先來看第一種：
例：某調查公司對甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進行調查，有89 人看過甲片，有47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有24人三部電影都看過，20人一部也沒有看過，則只看過其中兩部電影的人數是多少人?
A、69 B、65 C、57 D、46
解析：第一步：根據題意描述出題中所涉及到的幾個集合之間的容斥關系
第二步：在集合當中把具有相似屬性的封閉區(qū)間，都用一個單獨的字母來表示。
A表示看甲片的人
B表示看乙片的人
C表示看丙片的人
X表示看過甲乙丙三種片子的人
Y表示三部電影都沒看過的人
I表示總共接受調查的人數
O、P、Q表示看過兩部片子的人
第三步：根據題意建立等量關系，根據把重復數的次數變?yōu)橹粩?次，或者說把重疊的面積變?yōu)橐粚�，做到不重不漏的原則。
I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y,O+P+Q=A+B+C-2X+Y-I=89+47+63-2×24+20-125=尾數是6
結論：三者容斥問題，畫圖之后可知，三個圓相交的地方有1層、2層、3層三種情況，當將三個集合相加的時候，2層和3層區(qū)域分別多計算一次和兩次，故若想求全集，需要將重疊區(qū)域減掉，故三者容斥問題的公式為：
I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y
(I表示全集，A、B、C代表三個集合，O、P、Q表示兩個只有兩層的區(qū)域，X表示三層的區(qū)域，Y代表圓之外的部分
三、兩者容斥問題
例：大學四年級某班有50名同學，其中奧運會志愿者10人，全運會志愿者17人，30人兩種志愿者都不是，則班內是全運會志愿者且奧運會志愿者的同學是多少?
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：第一步：根據題意畫文氏圖，描述出題中所涉及到的幾個集合之間的容斥關系：
第二步：在集合當中把每一個獨立的封閉區(qū)間，都用一個單獨的字母來表示。
A表示是奧運會自愿者
B表示是全運會志愿者
I表示是全班人數
X表示全運會且奧運會志愿者
Y表示非奧運會且非全運會志愿者
第三步：根據題意建立等量關系，根據把重復數的次數變?yōu)橹粩?次，或者說把重疊的面積變?yōu)橐粚樱龅讲恢夭宦┑脑瓌t。
I=A+B-X+Y，所以X=A+B+Y-I=7(利用尾數法)。
結論：兩者容斥問題，畫圖之后可知，兩個圓相交的地方有1層、2層兩種情況，當將兩個集合相加的時候，2層部分多計算一次，故若想求全集，需要將重疊區(qū)域減掉，故三兩容斥問題的公式為：
全集I=A+B-X+Y
(I代表全集，A、B分別代表兩個集合，X代表兩個集合的交集，Y代表集合之外的部分)
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1、將所有區(qū)域都變?yōu)橐粚?br /> 2、結合文氏圖解題
容斥問題考察的題型包括求定值、求極值，求定值通常考察兩種題型——兩者容斥、三者容斥，接下來專家進行一一講解。
一、容斥極值問題
二、三者容斥問題
三者容斥問題所給的已知條件不同，導致其公式不同，首先來看第一種：
例：某調查公司對甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進行調查，有89 人看過甲片，有47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有24人三部電影都看過，20人一部也沒有看過，則只看過其中兩部電影的人數是多少人?
A、69 B、65 C、57 D、46
解析：第一步：根據題意描述出題中所涉及到的幾個集合之間的容斥關系
A表示看甲片的人
B表示看乙片的人
C表示看丙片的人
X表示看過甲乙丙三種片子的人
Y表示三部電影都沒看過的人
I表示總共接受調查的人數
O、P、Q表示看過兩部片子的人
第三步：根據題意建立等量關系，根據把重復數的次數變?yōu)橹粩?次，或者說把重疊的面積變?yōu)橐粚�，做到不重不漏的原則。
I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y,O+P+Q=A+B+C-2X+Y-I=89+47+63-2×24+20-125=尾數是6
結論：三者容斥問題，畫圖之后可知，三個圓相交的地方有1層、2層、3層三種情況，當將三個集合相加的時候，2層和3層區(qū)域分別多計算一次和兩次，故若想求全集，需要將重疊區(qū)域減掉，故三者容斥問題的公式為：
I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y
(I表示全集，A、B、C代表三個集合，O、P、Q表示兩個只有兩層的區(qū)域，X表示三層的區(qū)域，Y代表圓之外的部分
三、兩者容斥問題
例：大學四年級某班有50名同學，其中奧運會志愿者10人，全運會志愿者17人，30人兩種志愿者都不是，則班內是全運會志愿者且奧運會志愿者的同學是多少?
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：第一步：根據題意畫文氏圖，描述出題中所涉及到的幾個集合之間的容斥關系：
A表示是奧運會自愿者
B表示是全運會志愿者
I表示是全班人數
X表示全運會且奧運會志愿者
Y表示非奧運會且非全運會志愿者
第三步：根據題意建立等量關系，根據把重復數的次數變?yōu)橹粩?次，或者說把重疊的面積變?yōu)橐粚樱龅讲恢夭宦┑脑瓌t。
I=A+B-X+Y，所以X=A+B+Y-I=7(利用尾數法)。
結論：兩者容斥問題，畫圖之后可知，兩個圓相交的地方有1層、2層兩種情況，當將兩個集合相加的時候，2層部分多計算一次，故若想求全集，需要將重疊區(qū)域減掉，故三兩容斥問題的公式為：
全集I=A+B-X+Y
(I代表全集，A、B分別代表兩個集合，X代表兩個集合的交集，Y代表集合之外的部分)
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